△ Математика ✓ Бесплатно
Площадь
треугольника
Четыре способа на выбор — по тому, что известно в задаче. При задании тремя сторонами калькулятор дополнительно находит все углы, высоты и радиусы окружностей.
⚡Мгновенный расчёт
4️⃣Четыре формулы
📐Чертёж в масштабе
📊Углы, высоты, радиусы
Что известно
формула Герона
Готовые примеры:
Расчёт выполняется в браузере. При задании тремя сторонами калькулятор дополнительно находит углы, высоты, радиусы вписанной и описанной окружностей и определяет тип треугольника.
Площадь треугольника
6
формула Герона · прямоугольный
Периметр12
Вписанная r1
Описанная R2,5
Прямоугольный треугольник — один из углов равен 90°
Чертёж в масштабе
Углы и высоты
| Сторона | Длина | Угол напротив | Высота |
|---|---|---|---|
| a | 3 | 36,87° | 4 |
| b | 4 | 53,13° | 3 |
| c | 5 | 90° | 2,4 |
Решение по шагам
- Проверяем неравенство треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей3 + 4 = 7 > 5
- Находим полупериметрp = (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6
- Подставляем в формулу ГеронаS = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) = √(6 · 3 · 2 · 1) = √36 = 6
- По сторонам определяем тип треугольникапрямоугольный, углы 36,9°, 53,1°, 90°
Формулы площади
| Основание и высота | S = ½ · a · h |
| Три стороны | S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) |
| Две стороны и угол | S = ½ · a · b · sin γ |
| Координаты вершин | S = ½ · |определитель| |
| Через вписанную | S = p · r |
| Через описанную | S = abc / (4R) |
Справка
Какую формулу выбрать
Формул площади треугольника много, и выбор зависит только от того, что дано в задаче. Все они дают один и тот же результат — это легко проверить, посчитав одну фигуру разными способами.
- Основание и высота: S = ½ · a · h — самая простая, если высота дана
- Три стороны: формула Герона через полупериметр p = (a+b+c)/2
- Две стороны и угол: S = ½ · a · b · sin γ — угол должен быть между ними
- Координаты вершин: через определитель, работает для любых точек
- Неравенство треугольника: сумма двух сторон всегда больше третьей
Типичные ошибки Осторожно
Высота не к тому основанию Пары должны совпадать
Угол не между сторонами Формула не работает
Забывают половину Площадь вдвое
В Героне берут периметр Нужен полупериметр
Полезные соотношения Проверка
Сумма углов Всегда 180°
S = p · r Через вписанную
S = abc / 4R Через описанную
Равносторонний со стороной a S = a²√3 / 4
FAQ
Частые вопросы
По формуле Герона. Сначала посчитайте полупериметр p = (a + b + c) ÷ 2, затем возьмите корень из произведения p(p−a)(p−b)(p−c). Для сторон 3, 4 и 5 полупериметр равен 6, а площадь получается √(6·3·2·1) = 6.
Условие существования: сумма любых двух сторон должна быть строго больше третьей. Из отрезков 1, 2 и 3 треугольник не составить — две короткие стороны в точности лягут на длинную. Калькулятор проверяет это условие перед расчётом.
Тот, что лежит между двумя известными сторонами. Если взять другой угол, формула даст неверный результат. Это самая частая ошибка при использовании S = ½ · a · b · sin γ.
Через определитель: S = ½ · |(x₂−x₁)(y₃−y₁) − (x₃−x₁)(y₂−y₁)|. Модуль нужен потому, что определитель может быть отрицательным при другом порядке обхода вершин. Если он равен нулю, точки лежат на одной прямой.
Три — по одной к каждой стороне. Все они дают одну и ту же площадь, поскольку произведение стороны на соответствующую высоту постоянно. Поэтому к длинной стороне высота короче, и наоборот.
Сравните квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других. Если равны — треугольник прямоугольный, если сумма больше — остроугольный, если меньше — тупоугольный. Калькулятор определяет тип автоматически и учитывает равенство сторон.
Вписанная окружность касается всех трёх сторон изнутри, её радиус равен S ÷ p. Описанная проходит через все вершины, её радиус равен abc ÷ 4S. Обе величины часто требуются в задачах вместе с площадью.