√ Математика ✓ Бесплатно
Квадратный
корень
Извлеките квадратный, кубический или корень любой степени. Калькулятор не просто выдаёт десятичное число, а раскладывает подкоренное выражение на множители и показывает точную форму: √72 = 6√2.
⚡Мгновенный расчёт
📝Решение по шагам
🔻Упрощение радикала
🎯До 10 знаков после запятой
Извлечь корень
Степень корня
своя:
Знаков после запятой
Готовые примеры:
Расчёт выполняется прямо в браузере. Дробную часть можно вводить через запятую или точку, отрицательные числа допустимы. Радикал упрощается для целых чисел до 1 000 000 000.
Результат
8,485281
приближённо, 6 знаков после запятой
Точная форма6√2
Иррациональное число — бесконечная непериодическая дробь
Решение по шагам
- Раскладываем подкоренное число на простые множители72 = 2³ × 3²
- Выносим за знак корня множители, степень которых кратна 2√72 = 6√2
- Считаем десятичное значение6 × 1,414214 = 8,485281
Ближайшие точные значения
| Число | В степени 2 |
|---|---|
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
Справка
Как извлечь корень и упростить радикал
Квадратный корень из числа — это такое число, которое при возведении в квадрат даёт исходное. Записывается как √a. Если корень не извлекается нацело, его почти всегда можно упростить: разложить подкоренное число на простые множители и вынести за знак корня те, что входят в чётной степени.
- Раскладываем: 72 = 2³ × 3², то есть 72 = 36 × 2
- Выносим: 2² и 3² выходят из-под корня как 2 и 3, произведение — 6
- Ответ: √72 = 6√2 ≈ 8,485281 — точная форма всегда предпочтительнее
- Для степени n: выносится множитель, степень которого кратна n
- Знак: из отрицательного числа извлекается корень только нечётной степени
Типичные ошибки Осторожно
√(a + b) = √a + √b Неверно
√(−16) = −4 Корня нет
Оставляют √50 без упрощения Нужно 5√2
Округляют слишком рано Копится ошибка
Как проверить себя Рекомендуется
Возвести ответ в степень ✓ Всегда
√(a × b) = √a × √b ✓ Работает
Оценка по соседним квадратам ✓ Прикидка
Под корнем не осталось квадратов ✓ Упрощено
FAQ
Частые вопросы
Разложите число на простые множители и сгруппируйте их парами. Каждая пара одинаковых множителей выходит из-под корня как один множитель. Например, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3: пара двоек даёт 2, пара троек даёт 3, под корнем остаётся одна двойка. Итог: 6√2.
Это значит вынести за знак корня всё, что можно вынести, чтобы под корнем не осталось множителей в квадрате. √50 упрощается до 5√2, а √12 — до 2√3. В школьных ответах требуют именно упрощённую форму, а не десятичное приближение.
Корень нечётной степени — да: ∛(−8) = −2. Корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах не существует, ответ записывают через мнимую единицу: √(−16) = 4i.
Квадратный корень отвечает на вопрос «какое число во второй степени даёт исходное», кубический — «в третьей». Соответственно из-под квадратного корня выносят множители в чётной степени, из-под кубического — в степени, кратной трём.
Число, которое нельзя записать в виде обыкновенной дроби. Его десятичная запись бесконечна и непериодична. √2 ≈ 1,414213562… — классический пример. Поэтому точный ответ записывают через радикал, а не десятичной дробью.
Найдите два ближайших полных квадрата. Например, для √50: 49 = 7² и 64 = 8², значит ответ между 7 и 8, и ближе к 7. Калькулятор показывает такую таблицу соседних значений автоматически.
Корень не распределяется по сложению. Проверьте на числах: √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Значения разные. А вот по умножению корень распределяется: √(9 × 16) = √9 × √16 = 12.