🔵 Математика ✓ Бесплатно
Объём
шара
Знаете любую одну величину — получите все остальные. Ответ выводится точной формой через π, а ползунок среза показывает объём и площадь шарового сегмента.
⚡Мгновенный расчёт
🔄От любой величины
πТочный ответ 500π/3
🍰Сегмент и полушар
Шар и сфера
Что известно
r
Высота сегмента — 30% диаметра (3)
Сегмент — «шапочка», отсечённая от шара плоскостью. При 50 % получается ровно полушар, при 100 % — весь шар.
Готовые примеры:
Расчёт выполняется в браузере. Сфера — это поверхность, а шар — тело внутри неё, поэтому у сферы считают площадь, а у шара объём.
Объём шара
500π/3
приближённо 523,5988 · V = ⁴⁄₃πr³
Радиус5
Диаметр10
Площадь сферы314,1593
Площадь точно100π
Большая окружность31,4159
В литрах, если размеры в метрах523 598,776 л
Чертёж и сегмент
Шаровой сегмент
| Высота сегмента | 3 |
| Объём сегмента | 113,0973 |
| Сферическая поверхность | 94,2478 |
| Радиус основания | 4,5826 |
| Доля от объёма шара | 21,6 % |
Шар в описанном кубе
Если поместить шар в куб со стороной, равной диаметру, шар займёт чуть больше половины его объёма — и эта доля не зависит от размера.
Объём куба1 000
Шар занимает52,36 %
Решение по шагам
- Радиус известен — все остальные величины выражаются через негоr = 5
- Площадь сферы — это ровно четыре площади большого кругаS = 4πr² = 4 · π · 25 = 314,1593
- Объём шара — четыре трети пи на куб радиусаV = ⁴⁄₃πr³ = ⁴⁄₃ · π · 125 = 523,5988
- Шаровой сегмент высотой 3 — это «шапочка», отсечённая плоскостьюV сегм = πh²(r − h/3) = 113,0973
Формулы шара и сферы
| Объём шара | V = ⁴⁄₃πr³ |
| Площадь сферы | S = 4πr² |
| Большая окружность | C = 2πr |
| Объём сегмента | V = πh²(r − h/3) |
| Поверхность сегмента | S = 2πrh |
Справка
Формулы шара и сферы
Сфера — это поверхность, шар — тело внутри неё. Поэтому у сферы считают площадь, а у шара объём. Обе формулы держатся на радиусе, и обе содержат π, так что ответ почти всегда удобнее оставить в точной форме.
- Объём шара: V = ⁴⁄₃πr³, для радиуса 5 это 500π/3 ≈ 523,6
- Площадь сферы: S = 4πr² — ровно четыре площади большого круга
- Связь величин: V = S · r / 3, как у пирамиды с основанием-поверхностью
- Сегмент: V = πh²(r − h/3), при h = r получается ровно полушар
- В кубе: шар занимает π/6 ≈ 52,36 % объёма описанного куба
Типичные ошибки Осторожно
В формулу ставят диаметр Объём в 8 раз
Путают ⁴⁄₃πr³ и 4πr² Объём и площадь
Забывают куб радиуса Третья степень
Площадь сферы как πr² Это круг, не сфера
Полезные ориентиры Запомнить
r = 1 V = 4π/3, S = 4π
Радиус вдвое Объём в 8 раз
Полушар Ровно половина V
Шар в кубе 52,36 % всегда
FAQ
Частые вопросы
Возведите радиус в куб, умножьте на π и на четыре трети: V = ⁴⁄₃πr³. Для радиуса 5 получается 500π/3 ≈ 523,6. Если дан диаметр, обязательно разделите его пополам — иначе объём выйдет в восемь раз больше.
Сфера — это только поверхность, оболочка. Шар — вся область внутри неё вместе с границей. Поэтому мяч как оболочка это сфера, а как заполненное тело — шар. У сферы измеряют площадь, у шара — объём.
Это ровно четыре площади большого круга того же радиуса. Факт неочевидный, его впервые доказал Архимед, и он же показал, что площадь сферы равна боковой поверхности описанного вокруг неё цилиндра.
Выразите его из формулы через кубический корень: r = ∛(3V ÷ 4π). Калькулятор поддерживает такой ввод — выберите вариант «объём шара». Точно так же радиус находится из площади поверхности.
Часть шара, отсечённая плоскостью — «шапочка». Его объём считается по формуле V = πh²(r − h/3), где h — высота сегмента. При h = r получается ровно половина шара, то есть полушар.
В восемь раз, поскольку радиус входит в куб. Площадь поверхности при этом вырастет только вчетверо. Именно поэтому крупные тела остывают медленнее мелких: объём растёт быстрее поверхности.
Ровно π/6, то есть около 52,36 %, и эта доля не зависит от размера. Почти половина объёма коробки при упаковке шара остаётся пустой — отсюда классическая задача об оптимальной упаковке.