📈 Математика ✓ Бесплатно
Квадратное
уравнение
Введите коэффициенты — получите дискриминант, корни и полное решение. Если корень не извлекается нацело, ответ записывается точной формой с радикалом, а не округляется до четырёх знаков.
⚡Мгновенный расчёт
√Точные корни с радикалом
📈График параболы
✓Проверка по Виету
Коэффициенты
Готовые примеры:
Расчёт выполняется в браузере. При целых коэффициентах корни выводятся точной формой с упрощённым радикалом — именно в таком виде их просят записывать в школьных и вузовских работах.
Два корня
x₁ = 3, x₂ = 2
дискриминант D = 1
Вершина параболы(2,5; −0,25)
Сумма корней (−b/a)5
Произведение корней (c/a)6
Разложение на множители(x − 3)(x − 2)
График параболы
Точки пересечения с осью X — корни уравнения. Отмечена и вершина параболы.
Решение по шагам
- Записываем уравнение и выписываем коэффициентыx² − 5x + 6 = 0 → a = 1, b = −5, c = 6
- Считаем дискриминант по формуле D = b² − 4acD = −5² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
- Дискриминант положительный — у уравнения два различных действительных корняx = (−b ± √D) / (2a) = (5 ± √1) / 2
- Корень извлекается нацело — получаем рациональные корниx₁ = 3, x₂ = 2
- Проверка по теореме Виета: сумма корней равна −b/a, произведение равно c/a3 + 2 = 5, 3 · 2 = 6
Как связаны дискриминант и корни
| Дискриминант | Корни | Парабола |
|---|---|---|
| D > 0 | Два различных | Пересекает ось X |
| D = 0 | Один двукратный | Касается оси X |
| D < 0 | Только комплексные | Не касается оси X |
Справка
Как решать через дискриминант
Уравнение вида ax² + bx + c = 0 решается по единой схеме. Сначала считают дискриминант D = b² − 4ac — он показывает, сколько будет корней. Затем корни находят по формуле x = (−b ± √D) / (2a).
- D > 0: два различных корня, парабола пересекает ось X
- D = 0: один двукратный корень, парабола касается оси X
- D < 0: действительных корней нет, но есть пара комплексных
- Теорема Виета: сумма корней равна −b/a, произведение равно c/a
- Вершина параболы: находится в точке x = −b/(2a)
Типичные ошибки Осторожно
Теряют минус при −b Корни наоборот
Делят только первое слагаемое Скобка целиком
При c < 0 теряют знак в −4ac D занижен
√8 оставляют как есть Нужно 2√2
Как проверить себя Рекомендуется
Подставить корни в уравнение ✓ Надёжно
Сумма корней = −b/a ✓ Виета
Произведение = c/a ✓ Виета
Корни симметричны вершине ✓ График
FAQ
Частые вопросы
По формуле D = b² − 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0. Например, для x² − 5x + 6 получаем D = 25 − 24 = 1. Внимательнее со знаками: если c отрицательное, то −4ac прибавляется, а не вычитается.
В действительных числах корней нет — парабола не пересекает ось X. Но в комплексных числах корни существуют и образуют сопряжённую пару вида p ± qi. Калькулятор показывает и такой ответ.
Потому что √13 иррационально, и любая десятичная запись — приближение. В школьных и вузовских работах ответ требуют в точной форме, причём с вынесенным множителем: не √8, а 2√2. Калькулятор делает это упрощение автоматически.
Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q. В общем виде сумма равна −b/a, произведение равно c/a. Это удобный способ проверить ответ и иногда подобрать корни устно.
При D = 0 обе формулы дают одно и то же значение, поэтому корень считают одним, но кратности два. Геометрически это точка касания параболы с осью X, и разложение принимает вид a(x − x₀)².
Тогда уравнение перестаёт быть квадратным и превращается в линейное bx + c = 0 с единственным корнем −c/b. Калькулятор распознаёт этот случай и решает уравнение как линейное.
Оно позволяет свернуть уравнение в вид a(x − x₁)(x − x₂) и сразу увидеть корни. Это же разложение применяется при сокращении дробей с многочленами и при решении неравенств методом интервалов.