◺ Математика ✓ Бесплатно
Теорема
Пифагора
Заполните две стороны прямоугольного треугольника — третья найдётся сама. Калькулятор строит чертёж в масштабе, считает углы и площадь и распознаёт пифагоровы тройки.
⚡Мгновенный расчёт
📐Чертёж в масштабе
√Точный ответ радикалом
📊Углы, площадь, периметр
Стороны треугольника
Заполните две стороны, третью оставьте пустой — калькулятор найдёт её и покажет чертёж с углами и площадью.
Готовые примеры:
Расчёт выполняется в браузере. Если корень не извлекается нацело, ответ дополнительно показывается точной формой с радикалом — например, √72 записывается как 6√2.
Гипотенуза c =
5
корень извлекается нацело
Пифагорова тройка: все три стороны целые
Площадь6
Периметр12
Высота к c2,4
Угол против катета a36,87°
Угол против катета b53,13°
Чертёж в масштабе
Решение по шагам
- Теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетовa² + b² = c²
- Ищем гипотенузу — складываем квадраты катетов и извлекаем кореньc = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25
- Корень извлекается нацелоc = 5
- Стороны образуют пифагорову тройку — все три длины целые3 · 4 · 5
- Проверка: подставляем найденное значение обратно в теорему9 + 16 = 25
Пифагоровы тройки
Наборы целых чисел, для которых теорема выполняется точно. Любой кратный им треугольник тоже подходит: 6 · 8 · 10 — это 3 · 4 · 5, умноженная на два.
| Катет a | Катет b | Гипотенуза c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
| 9 | 40 | 41 |
| 12 | 35 | 37 |
| 11 | 60 | 61 |
Справка
Как применять теорему Пифагора
Теорема работает только для прямоугольного треугольника и связывает его стороны одним равенством: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза — сторона напротив прямого угла, и она всегда самая длинная.
- Ищем гипотенузу: c = √(a² + b²), для 3 и 4 получаем 5
- Ищем катет: a = √(c² − b²), из квадрата гипотенузы вычитаем
- Точная форма: если корень не извлекается, оставляют радикал — √72 = 6√2
- Пифагоровы тройки: 3·4·5, 5·12·13, 8·15·17 — все стороны целые
- Обратная теорема: если a² + b² = c², треугольник прямоугольный
Типичные ошибки Осторожно
Складывают при поиске катета Нужно вычитать
Гипотенузу берут за катет Она самая длинная
Забывают извлечь корень Получают c²
Применяют к любому треугольнику Только к прямому
Полезно помнить Опора
3 · 4 · 5 Самая частая
5 · 12 · 13 Вторая по частоте
Катеты равны c = a√2, углы 45°
Углы 30° и 60° c = 2a
FAQ
Частые вопросы
Возведите оба катета в квадрат, сложите и извлеките корень из суммы. Для катетов 3 и 4: 9 + 16 = 25, корень из 25 равен 5. Гипотенуза всегда получается длиннее любого из катетов.
Из квадрата гипотенузы вычтите квадрат известного катета и извлеките корень. Для гипотенузы 10 и катета 6: 100 − 36 = 64, корень равен 8. Здесь именно вычитание — самая частая ошибка в том, что складывают по привычке.
Наборы целых чисел, для которых теорема выполняется точно: 3·4·5, 5·12·13, 8·15·17, 7·24·25. Любой кратный набор тоже подходит, поэтому 6·8·10 и 30·40·50 — это та же тройка 3·4·5, умноженная на два и на десять.
Потому что √72 иррационально, и десятичная запись всегда будет приближением. В школьных и вузовских работах ответ требуют в точной форме с вынесенным множителем. Калькулятор показывает обе записи.
Нет, только к прямоугольному. Для произвольного треугольника действует теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Теорема Пифагора — её частный случай, когда угол равен 90° и косинус обращается в ноль.
По обратной теореме: возведите все три стороны в квадрат и проверьте, равен ли квадрат самой длинной сумме двух других. Если равенство выполняется — угол напротив длинной стороны прямой.
Такого треугольника не существует. Гипотенуза лежит напротив прямого угла — самого большого в треугольнике — и потому всегда длиннее любого катета. Калькулятор в этом случае предупредит об ошибке в данных.