🧮 Математика ✓ Бесплатно
Разложение
на множители
Разложите любое число на простые множители. Калькулятор показывает каноническую запись со степенями и то самое деление лесенкой, которым раскладывают в тетради.
⚡Мгновенный расчёт
🪜Деление лесенкой
🔢Все делители числа
📏До триллиона
Число
2 … 1 000 000 000 000
Готовые примеры:
Расчёт выполняется в браузере перебором делителей до квадратного корня. Для чисел до триллиона это доли секунды, поэтому разложение появляется сразу при вводе.
144 =
2⁴ × 3²
полная запись: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3
Делителей15
Сумма делителей403
Функция Эйлера48
Деление лесенкой
Тот самый способ из тетради: слева число, справа простой делитель, ниже — частное. Деление продолжается, пока не останется единица.
1442
722
362
182
93
33
1
Решение по шагам
- Делим число на наименьшее простое, на которое оно делится, и повторяем с частным144 : 2, 72 : 2, 36 : 2, 18 : 2, 9 : 3, 3 : 3
- Деление заканчивается, когда в частном осталась единица. Выписанные делители и есть разложение144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3
- Одинаковые множители собираем в степени — это каноническая запись144 = 2⁴ × 3²
- По степеням сразу считается количество делителей: перемножаем степени, увеличенные на единицу(4 + 1) × (2 + 1) = 15
Множители и степени
| Простой множитель | Степень | Вклад |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 16 |
| 3 | 2 | 9 |
Все делители — 15 штук
123468912161824364872144
Справка
Как раскладывать число на множители
Любое натуральное число больше единицы раскладывается на простые множители, причём единственным способом — это основная теорема арифметики. Практически разложение находят делением: берут наименьшее простое, на которое число делится, и повторяют с частным.
- Делим по порядку: 144 : 2 = 72, 72 : 2 = 36, 36 : 2 = 18, 18 : 2 = 9, 9 : 3 = 3, 3 : 3 = 1
- Собираем степени: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2⁴ × 3²
- Количество делителей: перемножаем степени плюс один — (4+1)(2+1) = 15
- Когда остановиться: достаточно проверять делители до квадратного корня
- Если делителей нет: число простое, разложить его нельзя
Типичные ошибки Осторожно
Оставляют составные множители 4 = 2 · 2
Единицу считают простой Она не простая
Проверяют делители до n Хватит до √n
Пропускают повторы Нужны степени
Что даёт разложение Применение
НОД и НОК ✓ Через множители
Сокращение дробей ✓ Общие множители
Извлечение корней ✓ Выносим квадраты
Число делителей ✓ Без перебора
FAQ
Частые вопросы
Делите число на наименьшее простое, на которое оно делится, затем повторяйте с полученным частным, пока не останется единица. Для 144 цепочка выглядит так: 144 : 2 = 72, 72 : 2 = 36, 36 : 2 = 18, 18 : 2 = 9, 9 : 3 = 3, 3 : 3 = 1. Выписанные делители и дают ответ.
Запись, в которой одинаковые множители собраны в степени и расположены по возрастанию основания: 144 = 2⁴ × 3². Такая форма компактнее и позволяет сразу считать количество делителей, НОД и НОК.
Увеличьте каждую степень в каноническом разложении на единицу и перемножьте. Для 144 = 2⁴ × 3² получается (4 + 1) × (2 + 1) = 15 делителей. Перебирать их по одному не нужно.
У простого числа ровно два различных делителя — единица и оно само. У единицы делитель только один. Кроме того, если бы единица считалась простой, разложение перестало бы быть единственным: 6 можно было бы записать как 2·3, 1·2·3, 1·1·2·3 и так далее.
До квадратного корня из исходного числа. Если у числа есть делитель больше корня, то парный ему делитель обязательно меньше корня и уже был найден. Поэтому для проверки 997 достаточно дойти до 31.
Она показывает, сколько чисел от 1 до n взаимно просты с n, то есть не имеют с ним общих делителей кроме единицы. Считается через разложение: n умножается на произведение (1 − 1/p) по всем простым множителям. Функция активно применяется в криптографии.
От 2 до триллиона. Разложение ищется перебором делителей до квадратного корня, поэтому даже для простого числа вроде 999 999 999 989 расчёт занимает считанные миллисекунды.