📐 Математика ✓ Бесплатно
Логарифм
числа
Посчитайте логарифм по любому основанию — десятичный, натуральный, двоичный или произвольный. Калькулятор распознаёт точные значения: log₄8 покажет как 3/2, а не как «примерно 1,5».
⚡Мгновенный расчёт
🎯Точные значения дробью
📝Решение по шагам
🔢lg, ln и log₂ сразу
Логарифм
Основание логарифма
Знаков после запятой
Готовые примеры:
Расчёт выполняется в браузере. Логарифм определён только для положительных чисел, а основание должно быть положительным и не равным единице. В любое поле можно ввести букву e — это число Эйлера.
log10 1 000 =
3
точное целое значение
lg (осн. 10)3
ln (осн. e)6,907755
log₂ (осн. 2)9,965784
Число является точной степенью основания — значение найдено без округления
Решение по шагам
- Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить числоlog₁₀ 1 000 = y ⟺ ₁₀^y = 1 000
- Число оказалось точной степенью основания — значение находится напрямую₁₀^3 = 1 000, значит log₁₀ 1 000 = 3
- Проверка: возводим основание в найденную степень10^3 = 1 000
Степени основания 10
| Степень | Значение |
|---|---|
| 100 | 1 |
| 101 | 10 |
| 102 | 100 |
| 103 | 1 000 |
| 104 | 10 000 |
| 105 | 100 000 |
Справка
Что такое логарифм и как его считать
Логарифм — это показатель степени. Запись logb x = y означает ровно одно: by = x. Логарифм и возведение в степень — взаимно обратные действия, поэтому любой логарифм можно проверить, возведя основание в найденную степень.
- Определение: lg 1000 = 3, потому что 10³ = 1000
- Обозначения: lg — основание 10, ln — основание e, log₂ — основание 2
- Переход к новому основанию: logb x = ln x ÷ ln b
- Область определения: x > 0, основание b > 0 и b ≠ 1
- Опорные значения: logb 1 = 0 и logb b = 1 при любом основании
Типичные ошибки Осторожно
log(a + b) = log a + log b Неверно
Логарифм отрицательного числа Не существует
Основание равно 1 Запрещено
ln путают с lg e против 10
Свойства логарифмов Запомнить
log (a × b) = log a + log b ✓ Сумма
log (a ÷ b) = log a − log b ✓ Разность
log aⁿ = n × log a ✓ Выносим
b^(log_b x) = x ✓ Тождество
FAQ
Частые вопросы
Это логарифмы с разными основаниями. lg — десятичный, его основание равно 10. ln — натуральный, его основание равно числу e ≈ 2,718. Например, lg 1000 = 3, а ln 1000 ≈ 6,908. Калькулятор показывает оба значения одновременно.
Через формулу перехода к новому основанию: log_b x = ln x ÷ ln b. Например, log₅ 125 = ln 125 ÷ ln 5 ≈ 4,828 ÷ 1,609 = 3. Работает с любым основанием, лишь бы оно было положительным и не равнялось единице.
Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести положительное основание. Положительное число в любой действительной степени остаётся положительным, поэтому получить отрицательное значение невозможно. По той же причине не определён логарифм нуля.
Единица в любой степени остаётся единицей, поэтому уравнение 1^y = x имеет решение только при x = 1, да и то любое. Однозначного ответа не получается, и логарифм с основанием 1 не определяют.
Это значит, что число является точной степенью основания с дробным показателем. Например, log₄ 8 = 3/2, потому что 4^(3/2) = 8. Такой ответ точен, тогда как десятичная запись 1,5 в других случаях может оказаться округлением.
Логарифм единицы равен нулю при любом основании, поскольку b⁰ = 1. Логарифм самого основания равен единице, поскольку b¹ = b. Эти два значения стоит помнить — они часто выручают при упрощении выражений.
В шкалах, где величины меняются на порядки: децибелы для звука, магнитуда землетрясений, водородный показатель pH. В информатике log₂ показывает, сколько бит нужно для кодирования и за сколько шагов отработает двоичный поиск.