🔢 Математика ✓ Бесплатно
НОД и
НОК
Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное для двух и более чисел. Калькулятор показывает разложение на простые множители, таблицу степеней и алгоритм Евклида — полное решение, как в тетради.
⚡Мгновенный расчёт
📝Решение по шагам
➗Алгоритм Евклида
🔢До 8 чисел сразу
Числа2 из 8
Готовые примеры:
Расчёт выполняется прямо в браузере — числа никуда не отправляются. Принимаются целые числа от 1 до 1 000 000 000, можно сравнивать до 8 чисел одновременно.
НОД
6
наибольший общий делитель
НОК
144
наименьшее общее кратное
Решение по шагам
- Раскладываем каждое число на простые множители48 = 2⁴ × 318 = 2 × 3²
- НОД — произведение общих множителей, взятых в наименьшей степениНОД = 2 × 3 = 6
- НОК — произведение всех встретившихся множителей, взятых в наибольшей степениНОК = 2⁴ × 3² = 144
- Провер ка: произведение двух чисел всегда равно произведению их НОД и НОК48 × 18 = 6 × 144 = 864
Таблица простых множителей
| Множитель | Мин. степень (НОД) | Макс. степень (НОК) |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 2⁴ |
| 3 | 3 | 3² |
Алгоритм Евклида
Делим большее число на меньшее с остатком и повторяем, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток и есть НОД.
- 48 = 18 × 2 + 12
- 18 = 12 × 1 + 6
- 12 = 6 × 2 + 0остаток 0 — стоп
НОД = 6
Справка
Как найти НОД и НОК
НОД — наибольшее число, на которое делятся все заданные числа без остатка. НОК — наименьшее число, которое делится на каждое из них. Оба находятся через разложение на простые множители: для НОД берут общие множители в наименьшей степени, для НОК — все встретившиеся множители в наибольшей степени.
- Раскладываем: 48 = 2⁴ × 3, а 18 = 2 × 3²
- НОД: общие множители в меньшей степени — 2 × 3 = 6
- НОК: все множители в большей степени — 2⁴ × 3² = 144
- Алгоритм Евклида: делим с остатком, пока остаток не станет нулём — последний ненулевой и есть НОД
- Связь: для двух чисел всегда a × b = НОД × НОК, отсюда НОК = a × b ÷ НОД
Типичные ошибки Осторожно
Путают НОД и НОК местами НОД ≤ чисел
Берут для НОД большую степень Нужна меньшая
Формула a×b=НОД×НОК для трёх чисел Не работает
Забывают множитель со степенью 1 Ответ занижен
Как проверить себя Рекомендуется
НОД делит каждое число нацело ✓ Всегда
НОК делится на каждое число ✓ Всегда
НОД ≤ наименьшего из чисел ✓ Проверка
НОК ≥ наибольшего из чисел ✓ Проверка
FAQ
Частые вопросы
НОД — наибольший общий делитель, он всегда меньше или равен самому маленькому из чисел. НОК — наименьшее общее кратное, оно всегда больше или равно самому большому из чисел. Для 48 и 18: НОД = 6, НОК = 144.
Разложите каждое число на простые множители, выпишите те, что встречаются во всех числах, и возьмите каждый в наименьшей встретившейся степени. Перемножьте — это и есть НОД.
Способ найти НОД двух чисел без разложения на множители. Большее число делят на меньшее с остатком, затем делитель делят на остаток, и так далее. Последний ненулевой остаток и будет НОД. Для больших чисел это гораздо быстрее разложения.
Для двух чисел работает тождество a × b = НОД × НОК. Отсюда НОК = a × b ÷ НОД. Например, 48 × 18 = 864, делим на НОД 6 и получаем НОК = 144. Для трёх и более чисел эта формула уже неверна — считайте через множители.
Это числа, у которых НОД равен единице — общих делителей, кроме 1, у них нет. Например, 15 и 28: НОД = 1. При этом сами числа простыми быть не обязаны.
Да. Калькулятор принимает до восьми чисел одновременно. НОД и НОК считаются последовательно: сначала для первых двух, затем результат объединяется со следующим числом и так далее.
НОД используют при сокращении дробей — числитель и знаменатель делят на их НОД. НОК нужен для приведения дробей к общему знаменателю, а также в задачах на совпадение циклов: например, когда два события с разной периодичностью произойдут одновременно.