❗ Математика ✓ Бесплатно
Факториал
числа
Посчитайте n! или двойной факториал n!! — точно, до последней цифры. Калькулятор показывает разложение в произведение, количество нулей на конце и оценку по формуле Стирлинга для больших значений.
⚡Мгновенный расчёт
🎯Точно до 5000!
0️⃣Нули в конце числа
📋Таблица факториалов
Факториал числа
Вид факториала
0 … 5 000
Быстрый выбор:
Расчёт идёт в браузере на длинной арифметике — результат точен до последней цифры даже для 1000!, где 2568 знаков. Длинные числа в карточке сокращаются, но копируются целиком.
10! =
3 628 800
7 цифр — значение точное
Нулей в конце2
По Стирлингу3,5987 × 10⁶ −0,83%
Решение по шагам
- Факториал — произведение всех натуральных чисел от 1 до 1010! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
- Перемножаем= 3 628 800
- Нули в конце появляются из пар 2 × 5. Двоек в разложении всегда больше, поэтому достаточно посчитать пятёрки — это формула Лежандра⌊10/5⌋ = 2 = 2
- Для больших n факториал хорошо приближается формулой Стирлинга — она даёт порядок величины без перемножения всех чиселn! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ = 3,5987 × 10⁶ (отклонение −0,83%)
Таблица факториалов
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5 040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3 628 800 |
| 11 | 39 916 800 |
| 12 | 479 001 600 |
| 13 | 6 227 020 800 |
| 14 | 87 178 291 200 |
| 15 | 1 307 674 368 000 |
| 16 | 20 922 789 888 000 |
| 17 | 355 687 428 096 000 |
| 18 | 6 402 373 705 728 000 |
| 19 | 121 645 100 408 832 000 |
| 20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
Справка
Что такое факториал и как он растёт
Факториал числа n — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n, обозначается n!. Главное практическое значение: n! — это количество способов переставить n различных предметов. Именно поэтому факториал лежит в основе всей комбинаторики.
- Определение: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
- Рекуррентно: n! = n × (n − 1)!, а 0! = 1 по определению
- Двойной факториал: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 — множители через один
- Нули на конце: считаются по формуле Лежандра — сколько раз пятёрка входит множителем
- Стирлинг: n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ — даёт порядок величины без перемножения
Типичные ошибки Осторожно
0! = 0 На деле 1
(a + b)! = a! + b! Неверно
Факториал дробного числа Только гамма
n!! считают как (n!)! Это другое
Как растёт факториал Для ориентира
10! 3,6 млн
20! 19 цифр
100! 158 цифр
1000! 2568 цифр
FAQ
Частые вопросы
Есть ровно один способ расставить ноль предметов — не расставлять ничего. Формально это пустое произведение, которое по соглашению равно единице. Такое определение делает верной рекуррентную формулу n! = n × (n − 1)! при n = 1 и не ломает формулы комбинаторики.
В двойном факториале множители идут через один: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105, а 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Это не «факториал от факториала» — (7!)! было бы астрономически большим числом.
Ноль на конце появляется из пары множителей 2 и 5. Двоек в разложении всегда больше, поэтому считают только пятёрки по формуле Лежандра: складывают целые части от деления n на 5, на 25, на 125 и так далее. Для 100! получается 20 + 4 = 24 нуля.
Это приближение n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ. Оно позволяет оценить порядок величины, не перемножая тысячи чисел, и активно используется в теории вероятностей и оценке сложности алгоритмов. Точность растёт с n: при n = 10 ошибка около 0,8%, при n = 1000 — уже меньше 0,01%.
Обычный факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Его обобщение на остальные значения — гамма-функция, для которой n! = Γ(n + 1). Для отрицательных целых чисел гамма-функция не определена, там у неё полюса.
Стандартная арифметика с плавающей точкой хранит около 15–17 значащих цифр, а в 100! их 158. Здесь расчёт идёт на длинной арифметике, поэтому выводятся все цифры без округления, а по кнопке копируется полное значение.
В комбинаторике — число перестановок n предметов равно n!. Через факториалы выражаются сочетания и размещения, биномиальные коэффициенты, разложения функций в ряд Тейлора, а также вероятности в задачах на упорядочивание.