▲ Математика ✓ Бесплатно
Объём
конуса
Обычный и усечённый конус в одном калькуляторе. Считает объём, образующую и все площади, а для развёртки находит угол сектора — то, что нужно при раскрое материала.
⚡Мгновенный расчёт
🪣Усечённый конус
📐Угол развёртки
πТочный ответ через π
Конус
Что известно
Готовые примеры:
Расчёт выполняется в браузере. Усечённый конус — это ведро, абажур или воронка: у него два разных основания, и объём считается по отдельной формуле, а не как разность двух конусов.
Объём конуса
12π
приближённо 37,6991
Образующая5
Боковая площадь47,1239
Полная площадь75,3982
Высота4
Угол развёртки216°
Угол наклона образующей36,87°
В литрах, если размеры в метрах37 699,112 л
Чертёж и развёртка
Развёртка боковой поверхности — сектор радиуса 5 с углом 216°. Длина его дуги равна длине окружности основания.
Решение по шагам
- Радиус и высота известны — образующую найдём по теореме Пифагораr = 3, h = 4
- Образующая — гипотенуза треугольника из радиуса и высотыl = √(r² + h²) = √(9 + 16) = 5
- Объём конуса — треть от объёма цилиндра с тем же основанием и высотойV = ⅓πr²h = ⅓ · π · 9 · 4 = 37,6991
- Боковая поверхность разворачивается в круговой сектор радиуса lS бок = πrl = π · 3 · 5 = 47,1239
- Угол этого сектора находится из того, что дуга развёртки равна длине окружности основанияα = 360° · r / l = 360° · 3 / 5 = 216°
Формулы
| Объём | V = ⅓πr²h |
| Образующая | l = √(r² + h²) |
| Боковая поверхность | S = πrl |
| Полная поверхность | S = πr(r + l) |
| Угол развёртки | α = 360° · r / l |
Справка
Формулы конуса
Объём конуса равен трети объёма цилиндра с тем же основанием и высотой. Образующая, радиус и высота образуют прямоугольный треугольник, поэтому любую из трёх величин можно найти по двум другим через теорему Пифагора.
- Объём: V = ⅓πr²h, для радиуса 3 и высоты 4 это 12π ≈ 37,7
- Образующая: l = √(r² + h²) — для 3 и 4 получается ровно 5
- Боковая поверхность: S = πrl, полная добавляет основание
- Развёртка: сектор радиуса l с углом 360° · r / l
- Усечённый: V = ⅓πh(R² + Rr + r²) — три слагаемых, а не разность
Типичные ошибки Осторожно
Забывают треть Получают цилиндр
Образующую берут за высоту l всегда больше h
В боковую площадь ставят h Нужна образующая
Усечённый как разность Есть своя формула
Полезные соотношения Запомнить
Конус и цилиндр V конуса = ⅓ V цил.
r = 3, h = 4 l = 5 ровно
Дуга развёртки = окружности основания
При r = R Уже цилиндр
FAQ
Частые вопросы
Умножьте площадь основания на высоту и разделите на три: V = ⅓πr²h. Для радиуса 3 и высоты 4 получается 12π ≈ 37,7. Деление на три — самая частая забытая деталь, без неё выходит объём цилиндра.
Отрезок от вершины до любой точки окружности основания. Вместе с радиусом и высотой она образует прямоугольный треугольник, поэтому l = √(r² + h²). Образующая всегда длиннее и радиуса, и высоты.
Потому что боковая поверхность разворачивается в сектор круга радиусом именно l. Площадь этого сектора и равна πrl. Если подставить высоту, результат окажется заниженным.
Начертите сектор радиусом, равным образующей, с углом 360° · r / l. Длина дуги такого сектора в точности совпадает с длиной окружности основания, поэтому свёрнутый сектор даёт нужный конус. Калькулятор считает этот угол автоматически.
По формуле V = ⅓πh(R² + Rr + r²), где R и r — радиусы оснований. Считать как разность двух конусов тоже можно, но это дольше: пришлось бы сначала достраивать конус до полного и искать его высоту.
Практически везде, где предмет сужается кверху: ведро, абажур, воронка, стакан, дорожный конус. Именно для таких задач и нужен второй режим калькулятора.
Ровно в три раза при одинаковых основании и высоте. Это классический результат, известный ещё со времён Архимеда: три конуса точно заполняют цилиндр тех же размеров.